miércoles, 14 de enero de 2015

Las matemáticas de la vida (IV)


Después de reflexionar sobre el tema tratado en esta entrada, me gustaría hacer un nuevo intento de acercar las matemáticas desarrolladas en este fascinante trabajo. Esta vez, lo haré mediante el uso de un sencillo ejemplo práctico que nos va a permitir visualizar más fácilmente lo que significa cada término de la ecuación principal de la propuesta.

Mediante un proceso deductivo; y partiendo de una base física previa muy firme (su estudio descansa en la termodinámica y en la mecánica estadística), Jeremy England alcanza la siguiente ecuación:


Esta fórmula puede intimidar en un primer vistazo, pero ahora veremos que no es para tanto (puedes ver el proceso de desarrollo completo por el que se llega a esta fórmula desde esta otra entrada de mi blog). Veamos, pues, lo que esta fórmula significa mediante un sencillo ejemplo práctico:

A grosso modo, el trabajo de Jeremy, se basa en la afirmación de que, en sistemas lejos del equilibrio térmico, dirigidos por una fuente de energía externa y en contacto con un gran baño térmico de temperatura homogénea T, los sistemas macroscópicos se van a suceder siempre siguiendo una pauta muy concreta; pauta que es determinada precisamente por la fórmula anterior. Esta fórmula contiene cuatro términos, y nos indica que, cuanto mayor sea la suma aditiva de estos términos, más probable va a ser el estado macroscópico que representan.

Veamos, por lo tanto, en qué consiste cada uno de estos términos, puesto que van a determinar el modo en que un sistema macroscópico se va a comportar en el tiempo. Qué es probable que llegue a suceder, y qué no:

El primer término refleja que un macrosistema es más probable que se de, si hay muchas configuraciones microscópicas que lleven a dicho macroestado. Ocurre que, normalmente, hay muchos más microestados espacialmente desordenados que ordenados, por lo que un sistema macroscópico evolucionará a sistemas cada vez más caóticos.

Caso práctico:

Imaginemos un sistema imaginario, el cual sea una especie de tablero de tres en raya, con 9 recuadros donde podamos colocar fichas(9 estados posibles), y usando sólo 3 fichas(partículas) para ocupar dichos recuadros. En este sistema ideal tendríamos:

729 microestados posibles, donde las 3 fichas no conformarán un sistema "ordenado" del tipo tres en línea. Es decir, que hay 8 configuraciones posibles, para que las fichas estén en línea (3 verticales, 3 horizontales y las 2 diagonales), y 729 - 8 = 721 microestados donde las fichas no formarán una estructura de 3 en raya.

Según esto, la probabilidad de que encontremos al sistema en 3 en raya (8/729), son mucho menores a que lo encontremos en un estado más "desordenado" o caótico (721/729).

Pues bien; el primer término de la ecuación en estudio, viene a decir más o menos esto mismo, pero aplicado a sistemas reales.

Sigamos:

El segundo término indica que los sistemas macroscópicos evolucionan de modo que sea fácil (probable) volver al estado inicial de partida, tomando el mismo periodo de tiempo, y con sólo invertir los momentos de las partículas de los microsistemas que la pueden conformar. Es decir; que se suceden macrosistemas con mayor accesibilidad cinética, puesto que dichos sistemas son más probables de alcanzar.

Caso práctico:

Supongamos el mismo ejemplo del 3 en raya. Si el movimiento de las fichas estuviese regido por un vector velocidad de dos dimensiones (x,y), y teniendo en cuenta las colisiones y las leyes de Newton, es evidente que la media en la probabilidad de que un microsistema pase de un microestado a otro, va a depender de la configuración espacial y cinética inicial. Si queremos saber si, partiendo de un  microestado inicial i, es probable o no llegar a un microestado final determinado j, hay que estudiar como de complejo es volver desde ese j a el i inicial de nuevo, en el mismo tiempo invertido para ir de i a j.

Imaginemos que el microestado i en nuestro tablero de 3 en raya es el siguiente:

x1(1,1), x2(2,1), x3(1,2).

Si queremos comparar la probabilidad de que se llegue, pasados 5 segundos (contando un movimiento por segundo |v| =1 mov/seg.), a un microestado j:  x1(3,3), x2(2,1), x3(1,2), o a un microestado k: x1(3,1), x(2,2), x3(1,3); hay que comprar la reversibilidad de cada microestado. Para facilitar los cálculo, supongamos que sólo es posible el movimiento en vertical y horizontal:

Es evidente, que, en 5 pasos (5 segundos a un paso por segundo), el microestado k es más accesible o sencillo, en el sentido de que hay más modos, trayectorias o caminos, por los que se puede volver a estar en i si damos otros 5 nuevos pasos. En j, sólo hay 4 trayectorias por las que podemos volver al microestado i en otros 5 pasos, mientras que en k hay muchas más trayectorias permitidas que nos dejarían de nuevo en un estado como el de i.

Y eso es lo que quiere decir el segundo término. Cuanto más fácil sea volver al punto de inicio, más accesible es un camino, y; el hecho de que se pueda volver de más maneras posibles al estado inicial, es un indicativo de que ese camino es muy accesible y, por lo tanto, probable de que llegue a suceder.

El tercer y el cuarto término, hacen referencia a la cantidad de calor efectivo que se exhala hacia la fuente térmica, de media, en el proceso de que lleva de pasar del macroestado inicial al final. Se toma en cuenta el calor efectivo que se consume de media al pasar de cada microestado i que cumple el macroestado inicial, a cada microestado j que cumple el macroestado final. Es decir; la media del consumo de cada trayectoria de cada microestado del macroestado inicial hacia cada microestado del macroestado final. El calor efectivo se obtiene a partir de esta media (tercer término) restando la desviación típica (cuarto término) que viene a representar la fluctuación sobre dicha media debida a diferentes causas cinéticas.

Cuanto mayor es la media de energía disipada en forma de calor, y menor la desviación típica, mayor es la probabilidad de que ocurra ese macroestado concreto.

Caso práctico:

Usaremos el mismo ejemplo imaginario del tablero de 3 en raya, pero vamos a aumentar la cantidad de filas y columnas a 100x100, y las fichas a 30. La temperatura media de la fuente térmica la tomaremos como T=1.

Además, tomaremos el movimiento de una casilla en vertical u horizontal, como un incremento del calor expelido en una unidad.

Por lo tanto, el tercer y cuarto término, nos viene a decir que, un macroestado final determinado, será tanto más probable de ser observado, cuanto más calor efectivo (una vez restadas las fluctuaciones) sea necesario emitir de media para ser alcanzado.

Supondremos una fuente de energía externa, que se encargará de otorgar el movimiento cinético a las fichas (partículas). Supongamos que esta energía empuja a las partículas con una fuerza que es proporcional a función seno, cuyo valor se irá variando cada 50 segundos, en proporción a un aumento en 5 grados. El módulo de esta fuerza va a ser |F(x)| = |sin(x)|, con x = 0 grados, 5 grados, 10 grados..., y siendo la dirección de dicho vector fuerza aleatorio.

La probabilidad de que una ficha se mueva va a ser, pues, proporcional a |F|. Esto es algo equivalente a superar un potencial o barrera de activación de dicho movimiento. La dirección del movimiento será aleatoria en una dirección vertical u horizontal.

En un sistema como este, se puede dejar transcurrir cierto periodo de tiempo, y estudiar la cantidad de calor medio expelido (número de movimientos efectivos de las fichas). La teoría dice que un estado macroscópico es más probable, cuanto más y mejor sea capaz de disipar calor. En nuestro ejemplo mental esto se traduce en que, espontáneamente, el sistema puede evolucionar hacia macroestados que contengan una configuración en las fichas que permitan aumentar la media de movimientos y, por lo tanto, aumentando el trabajo consumido y expelido en forma de calor:

Si modificamos ahora el experimento mental, de modo que acordemos que cada ficha que tenga otras fichas vecinas adjuntas, verá modificada su probabilidad de activación en 5 puntos por cada vecina que tenga, veremos como comienzan a aparecer con el tiempo macrosistemas con patrones que, pese a poseer bajo valor para dos primeros términos según vimos antes, ocurren igualmente, debido a que la media de calor expelido es tan eficiente, que consiguen contrarrestar el bajo valor entrópicos de los otros dos términos.

Esto se debe a que, en lo sistemas lejos del equilibrio térmico como el que hemos estudiado, se produce una especie de competición entre los 4 términos de la ecuación que determina la probabilidad en la ocurrencia de los sistemas. De modo, que en ocasiones, es posible que exista una baja entropía interna (primer término) y poca accesibilidad cinética (estados que requieren de trayectorias complejas), pero que sin embargo son probables debido a que conforman estructuras muy eficientes en la utilización de la fuente de energía externa para realizar trabajo y disipar así calor.

Y de hecho, el mejor modo de disipar más eficientemente energía, es haciendo copias de ti mismo. Porque desde el momento en que se consigue una estructura material con buena eficiencia disipativa media; el mejor modo de disminuir las fluctuaciones térmicas (cuarto término de la ecuación), es realizando copias exactas de esa estructura que se mostró eficiente. En otras palabras: si eres muy bueno disipando energía, y además eres capaz de copiarte a ti mismo; la física te va a ayudar a dominar el entorno (más detalles en el paper). Por lo tanto, toda esta física básica, sería la esencia que habría detrás del origen de la vida en la Tierra.

Referencias utilizadas:

  1. http://www.englandlab.com/publications.html (web oficial del equipo de investigación. Aquí irán subiendo los avances que se produzcan en este asunto). 
  2. Perunov, N., Marsland, R., and England, J. "Statistical Physics of Adaptation", (preprint), arxiv.org, 2014. (Este es el paper de diciembre que ha levantado tanta expectación). 
  3. England, J. L. "Statistical Physics of self-replication." J. Chem. Phys., 139, 121923 (2013). (Este es un paper del 2013, donde el equipo comenzó a dar forma definida a toda la línea de investigación). 
  4. https://www.youtube.com/watch?v=e91D5UAz-f4#t=1720 (Vídeo con una charla del propio Jeremy England donde explica su línea de investigación).



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